Han föddes i Bygdeå, där fadern var kyrkoherde. Han studerade vid skolan i Piteå, inskrevs därefter vid Härnösands gymnasium och antogs vid Uppsala universitet 1707. Studierna försenades av ett svårläkt benbrott. Han hade flera framstående lärare, bland dem Petrus Elvius, Johannes Vallerius och Nils Celsius. Vid universitetet var också Johannes Reftelius verksam som professor, och han blev 1721 Burmans svärfar.
Benbrottet ledde till att Burman inte kunde idrotta som hans jämnåriga och han ägnade sig därför åt musik med Christian Zellinger som lärare i bland annat orgel. Han orerade 1712 med De laude musices och disputerade första gången 1715 för Elvius (Specimen mathematicum de proportione harmonica) och andra gången 1716 för Vallerius (Disputatio altera de proportione harmonica). 1716 blev han filosofie magister. Efter en tjänst som lärare i matematik i Stockholm återkom han till universitetet som adjunkt 1719. Samma år deltog han i stiftandet av Kungliga Vetenskaps-Societeten i Uppsala och var dess första sekreterare.
Samtidigt utvecklade Burman sitt intresse för astronomi. Astronomin i Uppsala hade förfallit efter Anders Spoles död, och det observatorium som denne inrättat i sitt hem hade förstörts i en brand 1702. Burman brevväxlade med den italienske astronomen Giovanni Domenico Cassini i Paris, som hjälpte honom med förslag till ett nytt observatorium. Burman fick stöd för sina planer av Erik Benzelius den yngre, som övertalade riksdagen att upplåta en av slottsrundlarna till observatorium. Det hela stupade dock av finansiära skäl då universitetet saknade erforderliga medel och observatoriet kom inte att bli verklighet förrän med Anders Celsius, som var hans student.

Sveriges första regelbundna meteorologiska observationer
De första regelbundna, meteorologiska observationer i svensk historia utfördes av Burman. Han mätte regelbundet temperatur, barometerstånd, vindriktning och andra förändringar i vädret och han strävade med viss framgång efter att sådana observationer skulle företas i hela landet. Burman organiserade verksamheten som så att Sverige till slut hade 14 väderstationer vid hans bortgång. Därmed var han grundare till meteorologin i Sverige. Bland hans meteorologiska arbeten finns uppsatser om månförmörkelser, norrsken och solförmörkelser och han var en föregångsman i Sverige för väderprognoser i sin skrift Väderleksspåman. På grund av sina meteorologiska arbeten invaldes han i Royal astronomical society i London 1728. Hans observationer, Specimen observationum meteorologicicarum Upsaliensium, finns bevarade från 1722 till året före hans död och är publicerade i Acta literia Sveciæ. Det är de äldsta bevarade meteorologiska journalerna från Sverige.[3] Journalen från år 1722 är dock numrerad som 9 och han torde därför ha börjat observationerna redan 1714, men de tidigaste åren finns inte bevarade. Burman utgav också almanackor från år 1720.
År 1719 avled Zellinger, och Burman blev då hans efterträdare som director musices och organist i Uppsala domkyrka. Därmed var han även ledare för musikundervisningen i Uppsala. På grund av konflikter med domkyrkorådet förlorade han platsen som organist 1727 efter att han kämpat hårt för att få behålla den. Domkapitlet försökte kompensera honom med en nyinstiftad tjänst som inspektor över musiken. Han verkade kraftfullt för musiklivets förbättrande med regelbundna musikaftnar och överinseende av disputationer i musikteori.
När Burmans lärare Nicolaus Celsius avled 1724 var det många stora namn som ansökte om att få efterträda honom som professor i "högre matematik", det vill säga astronomi. Platsen tillföll Burman den 31 oktober, som då hunnit skaffa sig ett grundmurat anseende i Uppsala. Han hann dock inte verka länge på posten innan han avled, i november 1729.2106

Då B. efter ett par års, studier vid skolan i Piteå skulle övergå till gymnasiet i Härnösand, råkade han vid avfärden ut för en skenolycka och skadade sin höft. Knappt var det benbrott, han därvid ådrog sig, läkt, förrän det förnyades, och den i Umeå praktiserande kirurg, som skötte honom, fann det nödvändigt att sträcka den skadade höften genom att binda honom vid en planka eller bjälke. Så fick han ligga på rygg ett halvår. Studierna, för vilka han från barndomen visat en anmärkningsvärd fallenhet, fortsatte han ändå, men då han ej blev bättre, tog hans mor honom till Stockholm, där han äntligen nödtorftigt kurerades. Från Stockholm fick han fortsätta till Uppsala, och här nådde hans begåvning, som främst riktade sig på de matematiska ämnena, sin fulla utveckling under ledning av Harald och Johannes Vallerius, Petrus Elvius, Nicolaus Celsius och A. G. Duhre. Som ett bevis på B: s okuvliga energi berättas, att han en hel sommar med sitt haltande ben varje dag gick ut till Duhre på landet vid Ultuna för att av honom inhämta »ars analytica». Från ungdomens idrotter var han emellertid genom sin ofärdighet stängd. Sin vederkvickelse sökte han i stället i musiken, vars praktik han lärde av Kristian Zellinger, medan han inträngde i dess teori under förtroligt umgänge med sina lärare Vallerierna, båda högt begåvade även som musiker.
B. åtnjöt hos sina samtida ett gott anseende som matematiker och astronom, vilket bl. a. framgår av Benzelius d. y: s yttrande i konsistoriet, när detta hade att upprätta förslag till besättande av den efter N. Celsius lediga professuren i astronomi. B. erhöll också tjänsten, trots att bland konkurrenterna om platsen funnos så ansedda vetenskapsmän som G. O. Bilberg, S. Klingenstierna, K. Quensel och B. Vassenius. Hans professorstid blev synnerligen kort, men likväl uträttade han mycket för höjandet av den astronomiska forskningen vid universitetet. Observatorium saknades, ty det, som A. Spole inrättat i sitt hus, ödelades vid stadens brand 1702. De experimenterande naturvetenskaperna förfogade nu i biblioteket (då i Gustavianum) över »ett särskilt rum eller galleri för varjehanda maskiner och modeller av mekaniska verk och andra konster». I detta galleri förvarades också astronomiska instrument, dels inköpta utrikes, dels tillverkade i Uppsala. Noggrannheten i de observationer, som förrättades med dessa instrument, var ej stor, och B., vilken var en god observatör, gjorde därför försök att erhålla, nya och bättre hjälpmedel. Han lyckades också förmå konsistoriet att vid två tillfällen anslå en del av bibliotekets medel till inköp av diverse astronomiska instrument. Den låga köpesumman — 302 dir kmt — ger dock vid handen, att nyanskaffningarna måste ha varit av enklaste beskaffenhet, och det fåtal observationer, B. publicerade av den stora mängd, han påstås ha gjort, antyda, att hanNej heller genom inköpen av de nya instrumenten fått sina krav uppfyllda. Då den för observationernas anställande anvisade platsen var för ändamålet olämplig, arbetade B. energiskt för att få ett observatorium byggt. Den franske astronomen J. Cassini, med vilken han korresponderade om sina planer, sände honom ritningar över observatoriet i Paris jämte förslag till en billigare anläggning i Uppsala. I sina strävanden att få en tidsenlig astronomisk institution uppbyggd erhöll B. ett kraftigt stöd i den framsynte och mångsidige Benzelius. Redan 1716 hade denne föreslagit att för sagda ändamål iståndsätta de gamla slottsrundlarna, varvid han påpekade möjligheten att erhålla det mesta av byggnadsmaterialet ur slottsruinen. Till inköp av instrument och årligt underhåll av observatoriet tänkte han sig erhålla medel genom att Vetenskaps-societeten erhöll almanacksmonopol. Denna senare plan gick emellertid om intet, men däremot lyckades Benzelius förmå 1723 års riksdag att upplåta en av slottsrundlarna till observatorium. Det fattiga universitetet ägde dock inga medel till iordningställandet, och andra svårigheter uppstodo, varför det hela fick bero. År 1728 återupptog B. sina planer, men även då utan framgång. Först under hans efterträdare A. Celsius' tid blev ett nytt observatorium byggt, B. är den förste, vilken förrättat regelbundna meteorologiska observationer i Sverige. Resultaten av dessa iakttagelser äro publicerade i sammandrag i Acta literaria Svecias för åren 1722—28. Observationerna omfatta temperatur, b arometers tånd, vindriktning och de allmänna förändringarna i väderleken samt förrättades tre gånger om dagen. B. nedlade mycken energi på att få meteorologiska iakttagelser efter en gemensam plan utförda i olika delar av landet. Hans strävanden kröntes ock med framgång: vid hans död voro observationerna utvidgade till att omfatta fjorton stationer i Sverige. För sina förtjänster om den meteorologiska forskningen invaldes B. i Royal astronomical society i London. De astronomiska observationer, B. publicerat, behandla även mån- och solförmörkelser, norrsken m. m. Dessutom har han sammanfört regler angående vädert lekens förutsägande i sin »Väderleksspåman». — B. var en samvetsgrann lärare och synes ha föreläst med stor skicklighet över de olika grenarna inom astronomien, och de under hans tid hållna disputationerna göra ett gott intryck.
Efter Zellingers död blev B. dennes efterträdare som director musices. I denna egenskap förenade han organistbefattningen vid domkyrkan med omsorgen om studenternas musikstudier och ledningen av det av dessa bildade akademiska kapellet. Kombinerandet av sysslorna möjliggjorde en ganska riklig avlöning, som genom K. brev 1 apr. 1721 på domkyrkans bekostnad höjdes till 400 dir smt. Director-musicesbefattningen skänkte B. stor tillfredsställelse. Emellertid synes någon konflikt ha uppstått mellan honom och domkyrkorådet, ty detta förklarade 1727 organistplatsen vid domkyrkan till ansökan ledig. B. kämpade av alla krafter för att få behålla sin plats, och konsistoriet ställde sig på hans sida. I en skrivelse till kanslern 18 aug. 1727 hävdade det, att director musices borde vara en professor, ty en ostuderad direktör skulle sakna all auktoritet över studenterna, vilka möjligen kunde hålla sig för goda att spela tillsammans med kyrkans och stadens ordinarie musikanter, »dem de eljest kunstpfeiffer kalla». Trots detta blev platsen besatt med en annan innehavare, en motgång, som B. tog mycket hårt. Han klagade förgäves hos K. M:t (resolution 12 dec. 1727). För att bereda honom upprättelse erbjöd domkapitlet honom »inspektionen och överdirektionen av musiken», och akademiska konsistoriet gav sitt bifall till denna anordning. Det sålunda inrättade inspektoratet över musiken var ett lönlöst hedersuppdrag, som innebar en viss chefsställning även gentemot den nye organisten, och tillkom i förhoppning, att man »i god vänskap ville hjälpas åt att bringa musiken i flor» — en välmenande tanke, som dock så långtifrån förverkligades, att B. i stället råkade i en (vid hans död ännu oavgjord) uppslitande process med sin rival.
På musiklivet i Uppsala utövade B. stort inflytande. Han föranstaltade bl. a. små musikaftnar i sitt hem två gånger i veckan. År 1726 sammanförde han alla Uppsalas musikaliska krafter till ett »musikaliskt kollegium». Flera professorer och studenter medverkade i detta sällskap, »alla försvarliga vid sitt instrument». Åtskilliga disputationer i musikens teori ventilerades under B: s presidium. B:s verksamhet som musiker är föremål för utförlig behandling hos M. Gerbert von Hornau, F. J. Fetis och J. Mattheson. Den sistnämnde omnämner B. i sin »Ehrenpforte» såsom den där hade blivit en stor reformator av svenskt musikväsende, om han fått leva längre.2107